Курсовая работа по сопромату (сопротивление материалов). Примеры расчетов Курсовая работа по сопромату (сопротивление материалов). Примеры расчетов

Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3). Поскольку величина DJp стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (Mz через нее выражается) тем меньше, чем больше DJp, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz

найдем полный угол закручивания стержня длиной l

(5)

В случае, если по длине стержня Мz и DJp постоянны, получаем

Пример. Определить расстояние от точки А до прямой общего положения

когда эти величины кусочно-постоянны, то:

(6)

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при

где Wр — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления

.

Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид

(7)

где — допускаемое напряжение на кручение.

Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 7). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d

где , а момент сопротивления определяется по формуле

Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min , а главные напряжения действуют на площадках, наклоненных.коси стержня под углами ; главное напряжение .

Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней. Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 8, a). Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45o, т. е. по траектории главного напряжения (рис. 8,б).

Дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки (динамические уравнения Эйлера)

  Для вывода дифференциальных уравнений вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода

 (j=1,2,…,λ).

и совместим подвижные координатные оси Oξ, Oη, Oζ неизменно связанные с телом, с его главными осями инерции относительно неподвижной точки О.

 Из кинематики известно (ч. II, гл. VI, § 2), что положение твердого тела с неподвижной точкой определяется тремя углами Эйлера, которые примем за обобщенные координаты

q1=ψ, q2= θ, q3=φ.

Тело в рассматриваемом случае имеет три степени свободы (k = 3).

В соответствии с формулами (111.118), кинетическая энергия тела равна

где А =Iξ , В =Iη, С=Iζ - главные моменты инерции тела относительно подвижных осей, р=ωξ, q=ωη, r=ωζ -проекции угловой скорости вращения тела на подвижные оси, определяемые из кинематических уравнений Эйлера

  

 Вычислим частные производные


   

так что

  

Аналогично получим:

 В соответствии с теоремой Эйлера о перемещении тела с неподвижной точкой (ч. II, гл. VI, § 1)

следовательно, обобщенные силы соответственно будут

Q1=Mz, Q2=MON, Q3=Mζ,

где Mz, MON, Mζ— главные моменты приложенных к телу внешних сил относительно неподвижной оси Оz, линии узлов ОN и подвижной оси Oζ.

 Таким образом, уравнения Лагранжа второго рода в рассматриваемом случае будут

S1=Mz, S2=MN, S3=Mζ.

Из трех полученных дифференциальных уравнений первые два очень громоздкие, в то время как третье уравнение

имеет чрезвычайно простую, симметричную форму и оно явно не содержит компоненты угловой скорости тела p,q,r. Очевидно, сложность записи первых двух уравнений объясняется тем, что в правых частях этих уравнений вместо моментов Мξ, Мη фигурируют


отличные от них обобщенные силы Мz и МN. Однако путем надлежащего преобразования г эти уравнения можно привести к форме, аналогичной третьему уравнению.

 Итак, дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки принимают вид

 Эти уравнения называются динамическими уравнениями Эйлера. Заметим, что уравнения Эйлера можно также вывести, применив теорему об изменении кинетического момента.