Контрольная по математике. Тема: Дифференциальное исчисление Дифференциальное исчисление

Дифференциал функции 

  Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х:

Тогда можно записать: , где a®0, при Dх®0.

Следовательно:  .

Величина aDx- бесконечно малая более высокого порядка, чем f¢(x)Dx, т.е. f¢(x)Dx- главная часть приращения Dу.

 

  Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции.

  Обозначается dy или df(x).

Из определения следует, что dy = f¢(x)Dx или

 

dy = f¢(x)dx.

 

Можно также записать:

Геометрический смысл дифференциала.

 

 y

  f(x)

  K

 dy

 M Dy

 L

 

 

  Из треугольника DMKL: KL = dy = tga×Dx = y¢×Dx

Таким образом, дифференциал функции f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке.

Свойства дифференциала.

  Если u = f(x) и v = g(x)- функции, дифференцируемые в точке х, то непосредственно из определения дифференциала следуют следующие свойства:

 

1)      d(u ± v) = (u ± v)¢dx = u¢dx ± v¢dx = du ± dv

 

2)      d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = vdu + udv

 

3)      d(Cu) = Cdu

 

4)       

Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала. 

 Пусть y = f(x), x = g(t), т.е у- сложная функция.

Тогда dy = f¢(x)g¢(t)dt = f¢(x)dx.

  Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой- то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется инвариантной формой записи дифференциала.

 Однако, если х- независимая переменная, то

dx = Dx, но

если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

 

  Пример. Найти производную функции.

 

Сначала преобразуем данную функцию:

 

 Пример. Найти производную функции .

 

  Пример. Найти производную функции

 

  Пример. Найти производную функции

 

 

  Пример. Найти производную функции

 


На главную