|
||||||||||||||||||
Односторонние производные функции в точке.
Определение. Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое)
значение предела отношения 
при условии, что это отношение существует.
Если функция f(x) имеет производную в некоторой точке х = х0, то она имеет в этой точке односторонние производные. Однако, обратное утверждение неверно. Во- первых функция может иметь разрыв в точке х0, а во- вторых, даже если функция непрерывна в точке х0, она может быть в ней не дифференцируема.
Например: f(x) = ïxï- имеет в точке х = 0 и левую и правую производную, непрерывна в этой точке, однако, не имеет в ней производной.
Теорема. (Необходимое условие существования производной) Если функция f(x) имеет производную в точке х0, то она непрерывна в этой точке.
Понятно, что это условие не является достаточным.
Основные правила дифференцирования.
Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х.
1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢
2) (u×v)¢ = u×v¢ + u¢×v
3)
, если v ¹ 0
Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах.
Производные основных элементарных функций.
1)С¢ = 0; 9) 
2)(xm)¢ = mxm-1; 10) 
3) 
11) 
4) 
12) 
5) 
13) 
6) 
14) 
7)
15) 
8) 
16) 
Производная сложной функции.
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.
Тогда 
Доказательство.
( с учетом того, что если Dx®0, то Du®0, т.к. u = g(x) – непрерывная функция)
Тогда 