Асимптоты

  При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.

  Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

 Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

 Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции . Ее наклонная асимптота у = х.

 

 

  Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.

 

Вертикальные асимптоты.

 Из определения асимптоты следует, что если или  или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).

 

 Например, для функции  прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты.

 Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.

 

 

  Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.

  Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ =   - ордината точки N на асимптоте.

 По условию: ÐNMP = j.

Угол j - постоянный и не равный 900, тогда

 

 

Тогда  .

 

Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.

 

 В полученном выражении выносим за скобки х:

 

Т.к. х®¥, то , т.к. b = const, то .

 

Тогда , следовательно, 

 

.

 

Т.к. , то , следовательно,

 

 

  Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

 

  Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.

 

2) Наклонные асимптоты:

 

 

Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.

 

Построим график функции:

 

 

  Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.

 

Найдем наклонные асимптоты:

y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

 

 

 

Пример. Найти асимптоты и построить график функции .

 

Прямая  х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.

Найдем наклонные асимптоты.

 

Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.

 

Контрольная по математике. Тема: Интегральное исчисление Интегральное исчисление


На главную