techword.ru: казино va bank.

Контрольная по математике. Тема: Интегральное исчисление Интегральное исчисление

Производная по направлению.

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + Dx, y + Dy, z + Dz).

 Проведем через точки М и М1 вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

  Расстояние между точками М и М1 на векторе  обозначим DS.

 

 

  Высказанные выше предположения, проиллюстрируем на рисунке: Пример С помощью формулы Грина вычислить интеграл Решение задач на вычисление интеграла Математика лекции, задачи. Примеры выполнения курсового и типового задания

 z

 

  M 

 

 

 

 

  M1

 

  Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение:

,

 

где величины e1, e2, e3 – бесконечно малые при .

  Из геометрических соображений очевидно:

 

 

  Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

 

;

 

 

 

  Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

  Из этого уравнения следует следующее определение:

  Определение: Предел   называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора  в точке с координатами ( x, y, z).

 

  Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

 

 

  Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

 

  Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

 

=(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2.

Далее определяем модуль этого вектора:

 

=

Находим частные производные функции z в общем виде:

 

Значения этих величин в точке А :

 

Для нахождения направляющих косинусов вектора  производим следующие преобразования:

=

За величину  принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = cosb = -

 

Окончательно получаем:  - значение производной заданной функции по направлению вектора .
На главную