Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

 нормаль

 

 

 

 

 

 

  касательная плоскость

 

  Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0. [an error occurred while processing this directive]

  Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

  В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

  Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М00, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:

.

  Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

  Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).

  Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

  Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

 

 

  Уравнение касательной плоскости:

 

  Уравнение нормали:

 

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

  Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

  Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

 

  Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции  при x = 1, y = 2, z = 1.

  Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,

Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

  Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

 

 

 

  Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Контрольная по математике. Тема: Интегральное исчисление Интегральное исчисление


На главную