Геометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

 нормаль

  касательная плоскость

  Пусть N и N₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀. [an error occurred while processing this directive]

  Определение. Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

  В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

  Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение:

.

  Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

  Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+Dх, у₀+Dу).

  Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

  Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

  Уравнение касательной плоскости:

  Уравнение нормали:

Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.

  Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:

  Если подставить в эту формулу выражение

то получим приближенную формулу:

  Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции  при x = 1, y = 2, z = 1.

  Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,

Dz = 1,02 – 1 = 0,02.

  Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:

Полный дифференциал функции u равен:

  Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.

Контрольная по математике. Тема: Интегральное исчисление