нормальГеометрический смысл полного дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
нормаль
касательная плоскость
Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0. [an error occurred while processing this directive]
Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:
.
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+Dх, у0+Dу).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке М(1, 1, 1).
Уравнение касательной плоскости:
Уравнение нормали:
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:
Если подставить в эту формулу выражение
то получим приближенную формулу:
Пример. Вычислить приближенно значение 
, исходя из значения функции 
при x = 1, y = 2, z = 1.
Из заданного выражения определим Dx = 1,04 – 1 = 0,04, Dy = 1,99 – 2 = -0,01,
Dz = 1,02 – 1 = 0,02.
Найдем значение функции u(x, y, z) = 
Находим частные производные:
Полный дифференциал функции u равен:
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
