Производные и дифференциалы функций нескольких переменных. 

  Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина Dxz = f( x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.

 

  Можно записать

.

  

  Тогда  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:

 

  Аналогично определяется частная производная функции по у.

  Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

Полное приращение и полный дифференциал.

  Определение. Для функции f(x, y) выражение Dz = f( x + Dx, y + Dy) – f(x, y) называется полным приращением.

 

  Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то

 

Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках.

здесь

 

  Тогда получаем

 

Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:

 

  Определение. Выражение  называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где a1 и a2 – бесконечно малые функции при Dх ® 0 и Dу ® 0 соответственно.

  Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).

 

  Для функции произвольного числа переменных:

 

  Пример. Найти полный дифференциал функции .

 

 

 

 

  Пример. Найти полный дифференциал функции

 

Контрольная по математике. Тема: Интегральное исчисление Интегральное исчисление


Чарівний сад. На главную