Вычисление площадей плоских фигур.

 


 

 Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.

  Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”.

 Для нахождения суммарной площади используется формула .

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

  Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2.

 

  Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед2)

 Нахождение площади криволинейного сектора.

 

 

 

  Для нахождения площади криволинейного сектора введем полярную систему координат. Уравнение кривой, ограничивающей сектор в этой системе координат, имеет вид r = f(j), где r - длина радиус – вектора, соединяющего полюс с произвольной точкой кривой, а j - угол наклона этого радиус – вектора к полярной оси.

Площадь криволинейного сектора может быть найдена по формуле

  

Вычисление длины дуги кривой.

 y y = f(x)

 

 DSi Dyi

  Dxi

 

 

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как .

Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции получаем

,

где х = j(t) и у = y(t).

  Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

 

 

  Если кривая задана в полярных координатах, то

r = f(j).

 

  Пример: Найти длину окружности, заданной уравнением x2 + y2 = r2.

 

1 способ.  Выразим из уравнения переменную у. 

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2pr. Получили общеизвестную формулу длины окружности.

 

2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2j + r2sin2j = r2, т.е. функция r = f(j) = r,  тогда

Контрольная по математике. Тема: Интегральное исчисление Интегральное исчисление


На главную