Контрольная по математике. Тема: Дифференциальное исчисление

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Односторонние производные функции в точке Правой (левой) производной функции f(x) в точке х = х0 называется правое (левое) значение предела отношения  при условии, что это отношение существует.

Логарифмическое дифференцирование

Дифференциал функции Пусть функция y= f(x) имеет производную в точке х:

Формула Тейлора 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

Формула Маклорена Мы получили так называемую формулу Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа.

Представление некоторых элементарных функций по формуле Тейлора Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу.

Теоремы о среднем

Теорема Лагранжа

Теорема Коши Для доказательства этой теоремы на первый взгляд очень удобно воспользоваться теоремой Лагранжа. Записать формулу конечных разностей для каждой функции, а затем разделить их друг на друга. Однако, это представление ошибочно, т.к. точка e для каждой из функции в общем случае различна. Конечно, в некоторых частных случаях эта точка интервала может оказаться одинаковой для обеих функций, но это- очень редкое совпадение, а не правило, поэтому не может быть использовано для доказательства теоремы.

Раскрытие неопределенностей

Производные и дифференциалы высших порядков Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Исследование функций с помощью производной Возрастание и убывание функций Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f ¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

Асимптоты Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.

Схема исследования функций Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать

Векторная функция скалярного аргумента Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке. Таким образом, радиус- вектор точки кривой может рассматриваться как некоторая векторная функция скалярного аргумента t. При изменении параметра t изменяется величина и направление вектора .

Свойства производной векторной функции скалярного аргумента

Параметрическое задание функции Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида

Производная функции, заданной параметрически

Кривизна плоской кривой Угол a поворота касательной к кривой при переходе от точки А к точке В называется углом смежности.

Свойства эволюты Нормаль к данной кривой является касательной к ее эволюте.

Кривизна пространственной кривой Линия, которую опишет в пространстве переменный радиус – вектор при изменении параметра S, называется годографом этого вектора.

О формулах Френе

Вернуться на Главную