Ряды сходимость признак Коши, Даламбера

Числовые ряды

Определение: Пусть задана бесконечная числовая последовательность Числовым рядом называется бесконечная сумма Простейшие свойства числовых рядов

Теорема: Ряды сходятся или сходятся одновременно

Необходимый признак сходимости ряда

Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов Нахождение суммы ряда часто связано с большими техническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближенно: . Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии, что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов.

Теорема: (признак сравнения) Задача . Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями. Построим окружность с центром в начале координат радиуса

Пример: Исследовать на сходимость ряд

Аналогично доказывается, что из расходимости одного из рядов следует расходимость другого ряда.

Теорема: (признак Даламбера)

Если расходимость ряда установлена с помощью признака Даламбера, то

Теорема: (признак Коши)

Теорема: (интегральный признак Коши)

Знакопеременные ряды Определение: Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Пример: Исследовать на сходимость ряд.

Остаток ряда и его оценка

 Функциональные ряды Определение. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают:

Теорема (о структуре области сходимости степенного ряда)

Всякий степенной ряд сходится при . Если других точек сходимости у ряда нет, то считают, что . Если степенной ряд сходится во всех точках числовой прямой, то считают, что .

Свойства степенных рядов

Разложение функций в степенные ряды

Совпадает ли сумма полученного ряда Тейлора с функцией , для которой он составлен? Оказывается, не всегда. При каких условиях сумма ряда Тейлора совпадает с функцией, для которой он составлен?

Разложение функции в ряд Маклорена. Биномиальный ряд. Разложим в ряд Маклорена функцию , где –любое действительное число. Для этого вычислим производные.

Пример. Разложить в степенной ряд функцию .

Комплексные числа

Понятие комплексного числа Комплексным числом z называется число вида , где , а x и y–вещественные числа. Число x называется действительной частью, y–мнимой частью комплексного числа z. Это записывают следующим образом: .

Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами , где r–расстояние точки от начала координат, а φ–угол, который составляет радиус–вектор этой точки с положительным направлением оси Ox.

Некоторые сведения о многочленах

Разложение многочлена на множители Функция , где n–целое число, называется многочленом или рациональной целой функцией от x. Число n называют степенью многочлена. Коэффициенты –это действительные или комплексные числа. Независимая переменная x также может быть как действительным, так и комплексным числом.

Вернуться на Главную