Примеры вычисления интегралов

Первообразная функция. Неопределенный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи: для данной функции найти такую функцию , производная которой равнялась бы .

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Метод замены переменной

Теорема. Всякий многочлен степени n разлагается на n линейных множителей вида и множитель, равный коэффициенту при .

Пример Вычислить интеграл

Метод интегрирования по частям. Если и –функции, имеющие непрерывные производные, то , тогда ; проинтегрировав это равенство и учитывая свойство 2 неопределенного интеграла, получим формулу интегрирования по частям:

Интегрирование рациональных дробей Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.

Пример. .

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида , где m и n–четные положительные числа, вычисляются с помощью формул понижения степени:

Рассмотрим методы интегрирования простейших видов иррациональностей

Определенный интеграл

Задача о площади криволинейной трапеции Пусть – непрерывная положительная функция, заданная на отрезке . Фигура, ограниченная кривой прямыми x=a и x=b и осью ОХ, называется криволинейной трапецией Определение определенного интеграла К нахождению предела сумм, аналогичных сумме (1), приводит целый ряд задач естествознания. Поэтому вполне естественно изучить этот процесс независимо от конкретного содержания задачи.

Имеет место теорема существования определенного интеграла. Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Теорема о среднем значении

Замена переменной в определенном интеграле Теорема. Пусть дан интеграл , где непрерывна на . Введем новую переменную , связанную с равенством

Интегрирование по частям в определенном интеграле Формула интегрирования по частям в определенном интеграле выводится так же, как и для неопределенного интеграла, и имеет вид

Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла. Вычисление площади в декартовых координатах.

Пример. Найти площадь, ограниченную линиями и .

Пример. Найти площадь, ограниченную улиткой Паскаля

Вычисление длины дуги Если кривая задана параметрическими уравнениями , , то длина ее дуги , где –значения параметра, соответствующие концам дуги .

Вычисление объема тела вращения. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой , отрезком оси абсцисс и прямыми (рис.6), вычисляется по формуле

Вернуться на Главную