Аналитическая геометрия

Парабола

Каноническое уравнение параболы

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из ко­торых одинаково удалена от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Расстояние от фокуса F до директрисы называется пораметпром параболы и обозначается через p(p>0).

Для вывода уравнения параболы выберем систему координат Оху так, чтобы ось Ох проходила через фокус F перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к F, а начало координат О расположим посередине между фокусом и директри­сой (см. рис. 38). В выбранной системе фокус F име­ет координаты ,а уравнение директрисы имеет вид  , или  .

  Пусть М(х;у) — произвольная точка параболы. Соединим точку М с F. Проведем отрезок MN пер­пендикулярно 

 Рис. 38  директрисе. Согласно определению параболы MF=MN. По формуле расстояния между двумя точками на­ходим:

,  а 

Следовательно,

Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

т.е.

   (11.13)

Уравнение (11.13) называется каноническим уравнением параболы. Пара­бола есть линия второго порядка.

Исследование форм параболы по ее уравнению

1. В уравнении (11.13) переменная у входит в четной степени, значит, парабола симметрична относительно оси Ох; ось Ох является осью сим­метрии параболы.

2. Так как р > 0, то из (11.13) следует, что . Следовательно, парабола рас­положена справа от оси Оу.

3. При х=0 имеем y=0.

Следователь­но,  парабола проходит через начало коор­динат.

Рис.39.

  4. При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно возраста­ет. Парабола  имеет вид (фор­му), изображенный на рисунке 39. Точ­ка O(0; 0) называется вершиной параболы, отрезок FM =r называется фокальным радиусом точки М.

Уравнения у2 = —2рх, х2 = 2ру, х2 = -2ру (р > 0) также определяют параболы, они изображены на рисунке 40.

 

    

Нетрудно показать, что график квадратного трехчлена  , где  , В и С любые действительные числа, представляет собой параболу в смысле приведенного выше ее определения.

Вернуться на Главную