Полупроводники
Мастерская
Электроника
Карта

Аналитическая геометрия

Уравнение равносторонней гиперболы, асимптотами которой служат оси координат

  Гипербола (11.9) называется равносторонней, если ее полуоси равны (a=b). Ее каноническое уравнение

  (11.12)

 Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравне­ния y=x и y=-x и, следовательно, являются бис­сектрисами координатных углов Рассмотрим уравнение этой гиперболы в

новой си­стеме координат Ox'y' (см. рис. 36), полученной из старой поворотом осей координат на угол . Ис­пользуем формулы поворота осей координат:

Рис. 36.

 .

Подставляем значения а; и у в уравнение (11.12):

или где

Уравнение равносторонней гиперболы, для которой оси Ох и Оу явля­ются асимптотами, будет иметь вид  .

Дополнительные сведения о гиперболе

Эксцентриситетом гиперболы (11.9) называется отношение расстояния между фокусами к величине действительной оси гиперболы, обо­значается

  Так как для гиперболы с>a , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: . Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Действительно, из равенства (11.10) следует, что  , т. е. и

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем мень­ше отношение - ее полуосей, а значит, тем более вытянут ее основной прямоугольник.

 Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен . Действительно,

Фокальные радиусы  и  для то­чек правой ветви гиперболы имеют вид  и  , а для левой —  и .

Прямые   называются директрисами гиперболы. Так как для гиперболы , то . Это значит, что правая директриса расположе­на между центром и правой вершиной гиперболы, левая — между центром и левой вершиной.

  Директрисы гиперболы имеют то же свойство , что и директрисы эллипса. Кривая, определяемая уравнением , также есть гипербола, действительная ось 2b которой расположена на оси Оу, а мнимая ось 2а — на оси Ох. На рисунке 37 она изображена пунктиром.

 Рис.37

 

Очевидно, что гиперболы  и  имеют общие асимптоты. Такие гиперболы называются сопряженными.

 

Вернуться на Главную