Полупроводники
Мастерская
Электроника
Карта

Аналитическая геометрия

Исследование формы эллипса по его уравнению

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением.

  1.Уравнение (11.7) содержит х и у только в четных степенях, поэто­му если точка  (х; у) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (х;-y), (-х; у), (х; -у). Отсюда следует, что эллипс симметричен относительно осей Ох и Оу, а также относительно точки O(0; 0), которую называют центром эллипса.

  2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив у = 0, находим две точки  и , в которых ось Ох пересекает эллипс (см. рис. 28). Положив в уравнении (11.7) x = 0, находим точки пе­ресечения эллипса с осью Оу;  и. Точки, на­зываются вершинами эллипса. Отрез­ки и, а также их длины 2а и 2Ь называются соответственно боль­шой и малой осями эллипса. Числа а и b называются 

 соответственно боль­шой и малой полуосями эллипса. 

 3. Из уравнения (11.7) следует, что каждое слагаемое в левой части не превосходит единицы, т. е. имеют место

  неравенства  и или  и . Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x = ±а, у = ±b.

 4. В уравнении (11.7) сумма неотрицательных слагаемых иравна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого другое будет уменьшаться, т. е. если  возрастает, то уменьшается и наоборот.

Из сказанного следует, что эллипс имеет форму, изображенную на рис. 28 (овальная замкнутая кривая).

Дополнительные сведения об эллипсе.

 Форма эллипса зависит от отношения . При b=a эллипс превраща­ется в окружность, уравнение эллипса (11.7) принимает вид . В качестве характеристики формы эллипса чаще пользуются отношением .

  Отношение половины расстояния между фокусами к большой полу оси эллипса называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой  («эпсилон»):

  (11.8)

причем , так как . С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

т. е.

 и 

Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет эллипса, тем эллипс бу­дет менее сплющенным; если положить , то эллипс превращается в окружность.

Пусть М(х;у) — произвольная точка эллипса с фокусамии(см.рис.29).Длины отрезковиназываются фокальными радиусами точ­ки М. Очевидно,

Имеют место формулы

  и .

Прямые   называются директрисами эллипса. Значение дирек­трисы эллипса выявляется 

  следующим утверждением.

Теорема 11.1. Если r — расстояние от произвольной точки эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение  есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:

 

Из равенства (11.6) следует, что а > Ь. Если же а < Ь, то уравнение (11.7) определяет эл­липс, большая ось которого 2Ь лежит на оси Оу, а малая ось 2a — на оси Ох (см. рис. 30). Фокусы такого эллипса находятся в точках и где .

  Вернуться на Главную