Аналитическая геометрия

Эллипс

  Каноническое уравнение эллипса

 Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, назы­ваемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через  и ,расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произ­вольной точки эллипса до фокусов  — через 2а 

 Рис.27 (см. рис. 27). По определению 2а > 2с, т.е. a > с.

 Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы   и  лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка . Тогда фокусы будут иметь следующие координаты:

и .

 Пусть М(х;у) — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно опре­делению эллипса, , т. е.

 

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:

Так как a > с, то . Положим

  

Тогда последнее уравнение примет вид или

  

Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническим уравнением эллипса. Эллипс — кривая второго порядка.

 

Вернуться на Главную