Аналитическая геометрия

2. ЛИНИИ НА ЛОСКОСТИ

2.1. Основные понятия

Линия на плоскости рассматривается (задается) как множество то­чек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свой­ством. Например, окружность радиуса R есть множество всех точек плос­кости, удаленных на расстояние R от некоторой фиксированной точки О (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять по­ложение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положе­ние линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Оху называется такое уравнение F(x;y) = 0 с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты х и у каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные х и у в уравнении линии называются текущими коорди­натами точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка А(хо, уо) на данной ли­нии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки А уравнению этой линии в выбран­ной системе координат.

Пример 2.1. Лежат ли точки К(-2; 1) и L(1; 1) на линии 2х+у+3=0?

Решение: Подставив в уравнение вместо х и у координаты точки К, получим 2 • (-2) +1-3=0. Следовательно, точка К лежит на данной линии. Точка L не лежит на данной линии, т.к.2•1+1+3 ¹0.

 

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных урав­нениями F\(x;y) == 0 и F^(,x;y) = 0, сводится к отысканию точек, коор­динаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересе­каются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение F(r; j) = 0 называется уравнением данной линии в поляр­ной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

 (4)

где х и у — координаты произвольной точки М(х;у), лежащей на данной линии, a t — переменная, называемая параметром; параметр t определяет положение точки (х; у) на плоскости.

Например, если x=t+l, y=t2,тo значению параметра t = 2 соот­ветствует на плоскости точка (3; 4), т. к. х = 2 + 1 = 3,  у = 22 = 4.

Если параметр t изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется пара­метрическим, а уравнения (4) - параметрическими уравнениями ли­нии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению ви­да F(x; у) = 0, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр t. Например, от уравнений путем подстановки t = х во второе уравнение, легко получить уравнение у = x2; или , т.е. вида F(x;у) = 0. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Линию на плоскости можно задать векторным уравне­нием , где t — скалярный переменный параметр. Каждому значению to соответствует

 определенный вектор  

плоскости. При изменении параметра t конец вектора  опишет некоторую линию (см. рис. 9).

Векторному уравнению линии  в системе коор­динат Оху соответствуют два скалярных уравнения (4), т. е. уравнения проекций на оси координат вектор­ного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемеща­ется на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями дви­жения, а линия — траекторией точки, параметр t при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида F(x; у) = 0.

Всякому уравнению вида F(x; у) = 0 соответствует, вообще говоря, не­которая линия, свойства которой определяются данным уравнением (вы­ражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению (x - 2)2 + (у - З)2 = 0 соответствует не линия, а точка (2;3); уравнению х2 + у2 + 5 = 0 на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).


В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные за­дачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 10-18 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

 

  

Рис. 10. Окружность радиуса R

Подпись: Рис. 14. Полукубическая парабола Уравнение кривой   у2 = х3 или
 
Подпись: Рис. 15. Астроида
Уравнение в прямоугольных координатах:
 ; параметрические уравнения:

или  

 

 

 

 

 

 

Подпись: Рис. 12. Трехлепестковая роза
В полярных координатах ее уравнение имеет вид r = а  cos 3 × j, где а > 0.
Рис. 11. Лемниската Бернулли

Уравнение в прямоугольных координатах:

(x2 + у2)2 - a2 (x2 - у2) = 0, a > 0; в полярных

координатах:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Рис. 40. Циклоида

Параметрические уравнения циклоиды имеют видгде a > 0. Циклоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по непо­движной прямой.

Вернуться на Главную