Аналитическая геометрия

Вычисление площади поверхности вращения.


Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги L кривой y = y(x) (a £ x £ b), выражается интегралом

Который удобно записывать в форме, , где dl- дифференциал длины дуги.

Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то достаточно произвести замену переменной в приведённой формуле, выразив соответствующим образом дифференциал длины дуги

 Пример 1. Вычислить площадь поверхности эллипсоида, образованного вращением эллипса   вокруг оси Ох (а>b).

Решение. Разрешая уравнение эллипса относительно у, для у³0 получим


Отсюда


где величина   есть эксцентриситет эллипса.

В частности, при b®a эксцентриситет e стремится к нулю и


так как при этом эллипс превращается в окружность, то в пределе получаем площадь поверхности шара (сферы):

Вернуться на Главную