Курсы визажистов в Минске http://siderius.by

Аналитическая геометрия

Вычисление длин дуг кривых, заданных в полярных координатах.


Если гладкая кривая задана уравнением  в полярных координатах, то длина дуги l кривой выражается интегралом:


где и - значения полярного угла φ в концах дуги .

Пример 1. Найти длину первого витка архимедовой спирали r=aj

Дифференциальное уравнение второго порядка Решение контрольной работы по математике.


Решение. Первый виток архимедовой спирали образуется при изменении полярного угла j от 0 до 2. Поэтому


Пример 2. Вычислить длину логарифмической спирали  от некоторой её точки  до переменной точки .

Решение. В этом случае (независимо от того, какая из величин r или  больше!)


т.е. длина дуги логарифмической спирали пропорциональна приращению полярного радиуса дуги.

Пример 3. Найти длину дуги кардиоиды

 
Решение. Здесь ,

 

  Следовательно, в силу симметрии,

 

Пример 4. Найти длину дуги лемнискаты  от правой вершины, отвечающей j=0, до любой точки с полярным углом jáp/4.


Решение. Если 0£jáp/4, то соs2jñ0. Поэтому


Следовательно,

Последний интеграл называется эллиптическим интегралом первого рода и его можно привести к виду, удобному для вычисления с помощью специальных таблиц.

ульяновские двери официальный сайт межкомнатные каталог | дачный переезд недорого и быстро можно заказать у нас Вернуться на Главную